Подбор параметров при решении систем уравнений

Сущность решения системы уравнений состоит в нахождении координат точки, общей для функций, составляющих данную систему. Рассмотрим постановку и решение экономической задачи с использованием инструмента Excel Подбор параметра. Задача – необходимо определить оптимальный размер партии деталей, которые запускаются в производство при условии, чтобы суммарные затраты на обработку деталей, хранения их на складе, были минимальными. Характерной особенностью задач такого рода является то, что величина денежных затрат на конечную цену изделия зависит от количества деталей, которые находятся в производстве и на складе. На экономические показатели влияют несколько факторов (затраты на хранение и затраты на производство). Схема взаимодействия подразделений по закупке и хранению деталей (склад) и подразделений, которые используют детали (производство) представлена на рис. 1.

 

Рис. 1.

 

Обозначим переменной Х – количество деталей в партии, которая подается на производство. Затраты на хранение запасов деталей включает: налог на имущество, затраты на обслуживание склада, заработную плату сотрудников. Как правило, эта величина постоянная, рассчитывается на единицу хранения (деталь). Обозначим эту величину q [руб,шт.]. Следовательно, текущие затраты будут составлять: Zq = ½qx (1/2 – обозначает, что на складе должен быть страховой задел для запуска новой партии деталей в производство). Затраты на производство изделий с полученными деталями со склада включают расходы на подготовку и переналадку оборудования – S, расходы на сборку изделия – r. Задавшись суммарным количеством потребности в деталях на весь цикл производства изделий величиной – D, можно составить уравнение для определения производственных затрат: Zp = DS/x +rD. Таким образом,  общая величина затрат на хранение и производство равна: Z=1/2qx+DS/x+rD. Поскольку нас интересует точка, где функция достигает минимума, то для нахождения решения, необходимо провести следующие действия:

А) Найти первую производную функции Z по X:

Б) Приравнять нулю первую производную (в этой точке функция Z достигает минимума);

В) Вычислить значение X:

Предположим, что величины, которые необходимы для выполнения вычислений имеют следующие значения:

r - расходы на обработку 1 детали	0,01
q - расходы на хранение 1 детали	0,3
s - расходы на переналадку оборудования	4
D - потребность деталей на весь производственный цикл	100

 

Тогда искомое значение x будет: x=51.6397

Чтобы не проводить сложные вычисления, можно применить возможности Excel – Подбор параметра. Для этого поступим следующим образом:

·          Откроем новую книгу Excel, построим в ней таблицу «Расчет вариантов затрат на запуск в производство партий деталей». Таблица представлена на рис. 2.

·          В столбах таблицы расположим значения x в диапазоне от 10 до 100 с шагом 10, формулы для вычисления: затрат на производство Zp=D*s/x+r*D, затрат на хранение деталей Zq=q*x/2, суммарных затрат Z=Zp+Zq, для анализа вычислим разницу между затратами Z=Zp+Zq.

·          Зададим исходные данные для решения задачи (r, q, s, D).

·          Построим графики, показанные на рис. 3 для полученных зависимостей.

 

Рис. 2.

 

Рис. 3.

 

            Анализ табличных данных и графиков показывает, что область решения находится в диапазоне значений переменной x от 40 до 60. Используем инструмент Подбор параметра для более точного определения оптимального значения x – количества деталей в партии. Для этого в столбце F найдем число близкое к нулю, т.е. точку, где разница между затратами будет минимальной, например, при x=50 (можно выбрать и другую точку x=60).  Вызвать надстройку Excel Подбор параметра. Заполнить диалоговое окно, которое показано на рис. 4 (слева), а затем нажать на кнопку ОК. В окне Результаты подбора параметра (рис. 4 справа), получим сообщение «Решение найдено», в таблице на листе Excel вместо числа 50 (ячейка B7) появится новое значение подобранного параметра. Посмотреть пример.

 

Рис. 4.

 

Задание. Провести изменения в формулах для расчета затрат на производство и хранение продукции, выполнить операцию подбора параметров с новыми данными. Используя Подбор параметра, найти корни для уравнения: y = 2.34x2 – 3.12x + 1

 

Вопросы для самопроверки

1.     Как задать начальные условия для отображения функции (уравнения)?

2.     Почему в строке «Значение:» окна Подбор параметра ставят ноль?

3.     Для какого параметра в уравнении устанавливают величину равную нулю, как удобно определить этот параметр?

4.     Изменится ли вид графика для уравнения, в котором подбирают параметр?